Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos y cantidades. Se caracteriza por su base que es el número de símbolos distintos que utiliza, y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.
Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal.
La necesidad de representar conjuntos de objetos ha llevado a las distintas culturas a adoptar diversas formar de simbolizar su valor numérico.
Una primera manera de representar el número de elementos que constituyen un cierto conjunto, es establecer una correspondencia con un número igual de símbolos.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.
Perspectiva Histórica
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa o abarca a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases, y la numeración la Maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que se sigue haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren demasiada cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron esgrimiendo razones como: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Binario
El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero. Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bits) y números binarios de 6 bits eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Adgart en el siglo XI. En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual. En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.
Decimal
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.
Hexadecimal
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM1 en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15.
Octal
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.
Sistemas Numéricos Informáticos
Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para representar todos los números. Son cuatros los sistemas de codificación que utiliza habitualmente un sistema informático.
Binario
El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
Binario es el sistema que maneja la computadora internamente, ya que lo utilizan sus componentes electrónicos.
Cada uno de estos símbolos recibe el nombre de bit, entendiendo por tal la mínima unidad de información posible.
El sistema de numeración binario tiene una gran importancia en el funcionamiento del ordenador. Ya se ha señalado que la memoria del ordenador es un conjunto de biestables2. En ellos puede haber o no corriente eléctrica.
Octal
Es un sistema en base 8 que utiliza los símbolos del 0 al 7 para representar las cantidades, las cuales quedan reproducidas posicionalmente por potencias de 8. El sistema de numeración en base 8 tiene una correspondencia directa con el binario, ya que cada símbolo en base 8 puede representarse mediante una combinación de 3 bits.
Por ejemplo, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, de tal forma que obtengamos una serie de números en binario de 3 dígitos cada uno (para fragmentar el número se comienza desde el primero por la derecha y se parte de 3 en 3), después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es necesario pasar por el binario. Para llegar al resultado de 74 en octal se sigue esta serie: decimal -- binario -- octal. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.
Decimal
Es el más utilizado, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. Cuenta con diez elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las operaciones que en el se pueden dar son las aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etc.) y lógicas (Unión - disyunción, Intersección - conjunción, negación, Diferencia, Complemento, etc.). Las relaciones entre los números del sistema decimal son mayor que, menor que, igual y a nivel lógico son pertenencia y contenencia.
También podemos decir que es el más utilizado en informática porque es el que utilizamos los humanos, por ejemplo si quisiera escribir la A acentuada tendría que utilizar el comando Alt-164, lo que la computadora realmente interpreta es el binario 10100000, lo que obviamente sería muy completo para la mente humana.
Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.
Hexadecimal
Es un sistema de numeración en base 16. Utiliza 16 símbolos diferentes, del 0 al 9 y los dígitos valores (o letras) A, B, C, D, E y F. Estas letras representan, respectivamente, los dígitos 10, 11, 12, 13, 14, y 15 del sistema decimal. Este sistema también tiene una correspondencia directa con el sistema binario, ya que cada símbolo en base 16 se puede representar mediante una combinación de 4 bits.
El sistema que maneja internamente un ordenador es el binario, pero, en ocasiones, por comodidad en el manejo de los datos, se suele utilizar el octal y el hexadecimal, ya que mucha de la información que nos muestra el sistema operativo, como direcciones de memoria, está expresada en hexadecimal.
Conversiones
De binario a decimal
Ejemplo, convertir 1001101 en decimal.
Tabla 1.1
64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 1 0 1
64 - - 8 4 - 1
Resultado 64 + 8 + 4 +1 = 77
De decimal a binario
Hay varias formas pero a mi entender la más simple es aplicar el mismo principio
que en la conversión de binario a
decimal. Es decir creamos nuestra tabla
que siempre será igual es decir:
128 64 32
16 8 4 2 1
1 0 1 1 1 0 1 1 = 187
Entonces si nos piden convertir por ejemplo el 187, procedemos
de la siguiente manera, como 128 cabe dentro de 187 lo encendemos, luego con el
64 + 128 excedería
los 187 (192) por lo que lo apagamos, luego el 32 + 128 =
160, como cabe dentro de los 187 también lo enciendo. Continuamos con
el 16 + 160 = 176 lo encendemos, luego sumamos 8 + 176 = 184, el 4 excedería
por lo que lo apagamos y encendemos el 2 y el 1 para sumar los 187.
Hay algunos trucos a tomar en cuenta como por ejemplo
tomando en cuenta que la suma de los 8 bits es igual a 255, si nos piden
convertir un numero decimal grande, como el caso de 250 pues solo tenemos que
apagar el 4 y el 1 y obtenernos 11111010. Otro truco a tomar en cuenta es que
el primer bit (1) es el que hace que los números sean impares, es decir si el
numero a convertir es impar como 187 o cualquier otro, el numero 1 siempre estará
encendido. Hay otros trucos que con el tiempo podrán descubrir y que
facilitaran el proceso de conversiones en varios sistemas numéricos para que
puedan convertir incluso mental y rápidamente.
En la tabla 1.2 podemos ver los primeros 20 símbolos decimales y sus correspondencias en binario, base 8 y base 16.
Tabla 1.2
Decimal Binario Base 8 Base 16
0 00000 0 0
1 00001 1 1
2 00010 2 2
3 00011 3 3
4 00101 4 4
5 00101 5 5
6 00110 6 6
7 00111 7 7
8 01000 10 8
9 01001 11 9
10 01010 12 A
11 01011 13 B
12 01100 14 C
13 01101 15 D
14 01110 16 E
15 01111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
Conclusión
El sistema de numeración es el conjunto de símbolos utilizados para la representación de cantidades, así como las reglas que rigen dicha representación. En la informática se usaron muchos sistemas de numeración como lo fue el sistema binario, decimal, octal y hexadecimal ya que fueron muy útil para la realización de varios programas pero la tecnología ha avanzado tanto que ya estos sistemas están si se puede decir obsoleto.
* El sistema decimal que es uno de los denominados sistemas posicionales. Y es uno de los más utilizados, a razón de que es el más fácil de utilizar para el ser humano.
* El sistema binario que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales.
* El sistema de numeración octal cuya base es 8. El sistema de numeración en base 8 tiene una correspondencia directa con el binario, ya que cada símbolo en base 8 puede representarse mediante una combinación de 3 bits.
* El hexadecimal que utiliza 16 símbolos para la representación de cantidades. es el sistema de numeración posicional de base. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica.
En lo que concierne a las redes, las direcciones IP se expresan por un número binario de 32 bits, permitiendo un espacio de direcciones de hasta 4.294.967.296 (232) direcciones posibles. Las direcciones IP se pueden expresar como números de notación decimal: se dividen los 32 bits de la dirección en cuatro octetos. El valor decimal de cada octeto está comprendido en el rango de 0 a 255, el número binario de 8 bits más alto es 11111111 y esos bits, de derecha a izquierda, tienen valores decimales de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 y 128, lo que suma 255.
También cabe resaltar la importancia de las conversiones a la hora de crear subredes.
Imaginemos que vamos a usar la máscara 255.255.255.224 con una dirección de clase C y necesitamos saber cuántas subredes estarán disponibles. Tenemos que pasar la máscara que está en decimal punteado a binario lo que nos dará: 11111111.11111111.11111111.11100000, prestamos mayor atención al último octeto ya que al tratarse de una clase C es el único que importará. Nos damos cuenta que en este último octeto hay tres bits en 1. (11111111.11111111.11111111.11100000) ultimo octeto donde están los tres bits en 1 Seguidamente vamos a la formula 2n-2, donde n es el número de bits que se encuentran en 1, en este caso son 3, luego quedaría 23-2 = 6 subredes.
